La régression linéaire est une méthode statistique qui permet d’estimer la relation entre une variable à expliquer (appelée variable dépendante) et une ou plusieurs variables explicatives (variables indépendantes).
Elle sert à modéliser et prédire une grandeur à partir de données observées, afin de mesurer l’impact d’un facteur sur un autre.
Exemple : un analyste peut utiliser une régression linéaire pour estimer comment le prix d’une action varie en fonction du taux d’intérêt.
L’Essentiel
- La régression linéaire modélise la relation entre une variable et un ou plusieurs facteurs explicatifs.
- En finance, elle est utilisée pour estimer empiriquement des relations prévues par des modèles comme le CAPM.
- Le modèle CAPM reste théorique ; la régression sert uniquement à estimer et tester le coefficient β.
- Un β élevé signifie que le rendement de l’actif réagit fortement aux mouvements du marché.
- La volatilité totale d’un actif dépend à la fois de son risque systématique (β) et de son risque spécifique.
Comment fonctionne la régression linéaire ?
La régression linéaire cherche à tracer une droite de tendance qui décrit au mieux la relation entre les données.
La forme générale de la régression linéaire est la suivante : Y = a*X + b + epsilon avec a et b deux constantes. Y est la variable à prédire, X la variable utilisée pour prédire, a est la pente de la régression et b est l’intercept, c’est-à-dire la valeur de Y lorsque X est égal à zéro.
Dans le cas d’une régression linéaire multiple, il y a plusieurs variables changeantes et on écrit Y = a*X1 + b*X2 + … + z + epsilon.
Cette formulation inclut bien l’ordonnée à l’origine (β₀), souvent oubliée dans certaines formules simplifiées.
Les coefficients sont obtenus à l’aide de la méthode des moindres carrés, qui minimise la somme des carrés des écarts entre les valeurs observées et les valeurs prédites.
Pour aller plus loin
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Application de la régression linéaire en finance
En finance, la régression linéaire est un outil d’analyse empirique.
Elle permet de :
- Identifier les facteurs qui influencent les prix ou les rendements.
- Mesurer la sensibilité d’un actif à des variables de marché (taux d’intérêt, indices boursiers…).
- Tester des relations théoriques, comme celle entre rendement et risque.
Exemple : un gérant peut estimer comment le rendement d’une action réagit aux variations d’un indice de marché.
Régression linéaire et modèle CAPM : quelle relation ?
Le CAPM (Capital Asset Pricing Model) est un modèle théorique qui relie le rendement espéré d’un actif à son risque systématique via le coefficient β (bêta) :
La régression linéaire n’est pas la base du CAPM lui-même, mais l’outil statistique utilisé pour estimer le bêta à partir de données historiques.
Concrètement, on réalise une régression des rendements excédentaires de l’actif sur ceux du marché :
E(Ra) = Rf + beta(E(Rm) – Rf).
E(Rm) – Rf est la prime de risque du marché, c’est elle qui est amenée à varier et à peser plus ou moins sur la rentabilité espérée de l’actif selon la valeur de beta. Ici, c’est donc le rendement d’une action qui est régressé par rapport à celui d’un indice plus large.
Le coefficient β obtenu mesure la sensibilité du rendement de l’actif aux variations du rendement du marché.
Interprétation corrigée : plus le β est élevé, plus le rendement de l’actif tend à varier fortement lorsque le marché varie, autrement dit, l’actif présente un risque systématique plus important, sans que cela implique nécessairement une volatilité totale plus grande (qui dépend aussi du risque spécifique).
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Je découvre l’assurance-vie NaloTableau de synthèse
| Élément | Signification | Rôle en régression linéaire |
| Y | Variable dépendante | Résultat à prédire (prix, rendement, etc.) |
| X | Variable indépendante | Facteur explicatif (taux, indice, etc.) |
| β₀ | Intercept | Valeur de Y quand toutes les X = 0 |
| β₁, β₂ … | Coefficients de régression | Influence de chaque facteur |
| ε | Terme d’erreur | Écart non expliqué par le modèle |
Pour aller plus loin
FAQ
À quoi sert une régression linéaire en finance ?
Elle permet d’analyser la relation entre le rendement d’un actif et différents facteurs de marché (taux, inflation, indices boursiers…).
Quelle est la différence entre corrélation et régression ?
La corrélation mesure la force du lien entre deux variables. La régression, elle, permet de quantifier et prédire comment une variable en dépend.
Comment interpréter le coefficient bêta dans le CAPM ?
Un bêta supérieur à 1 signifie que l’actif est plus volatil que le marché. Un bêta inférieur à 1 indique une volatilité moindre.
