R-carré ou R2

L’Essentiel

• R², ou R-carré est appelé coefficient de détermination, est utilisé surtout en statistiques pour juger de la qualité d’une régression linéaire
• En finance il permet de déterminer le pourcentage de variation d’un portefeuille qui s’explique par les mouvements d’un autre indice
• Son étude peut être complétée par celle des coefficients alpha et beta.

Le R², ou R-carré est appelé coefficient de détermination. C’est un indicateur utilisé en statistiques pour juger de la qualité d’une régression linéaire. Mathématiquement, il s’agit de la proportion de la variance d’une variable dépendante qui s’explique par une ou plusieurs variables indépendantes dans le modèle de régression. On l’exprime soit entre 0 et 1, soit en pourcentage. 

Alors que la corrélation explique la force de la relation entre une variable indépendante et une variable dépendante, le R au carré explique dans quelle mesure la variance d’une variable explique la variance de la seconde variable.

Comment se calcule le R2? 

Le R² se calcule à partir de la formule suivante :

R² = 1 – (Somme de 1 à n de (y_i – ^y_i)²)/(Somme de 1 à n de (y_i – y_barre)²)

Avec y_i la valeur du point i, ^y_i la valeur prédite pour le point i par la régression linéaire, y_barre la moyenne empirique des points donnés.

Interprétation des valeurs de R carré? 

Ce coefficient est compris entre 0 et 1, et croît avec l’adéquation de la régression au modèle:

–        Si le R² est proche de zéro, alors la droite de régression colle à 0% avec l’ensemble des points donnés.

–        Si le R2 d’un modèle est de 0,50, alors la moitié de la variation observée dans le modèle calculé peut être expliquée par les points

–       Si le R² est de 1, alors la régression détermine 100% de la distribution des points. En pratique, il est impossible d’obtenir un R2 de 1 à partir de données empiriques. On considère qu’un R carré est élevé lorsqu’ils se situe entre 0.85 et 1

Le R2 dans le domaine financier

En général, on utilise R carré en finance pour suivre le pourcentage de variation d’un fonds ou d’un actif qui s’explique par les mouvements d’un autre indice, en particulier des indices de référence comme le S&P500. 

Beta en finance est aussi une mesure de corrélation d’actifs, de titres ou d’indices mais différent de R carré. En effet, R-carré mesure dans quelle mesure la variation du prix d’un actif est corrélée à un indice de référence. Le bêta mesure l’ampleur de ces variations de prix par rapport à un indice de référence. Un titre dont le beta est élevé peut produire des rendement supérieurs à l’indice de référence, tandis qu’un R carré élevé montre que la corrélation avec cet indice est très forte. A titre de rappel, pour beta, le point de référence est 1 : si beta est inférieur à 1, le titre est moins volatile que, tandis que si beta est supérieur à 1 le titre l’est plus.

Il peut être intéressant de considérer ensemble ces deux indices qui donnent à l’investisseur une image plus complète de la performance relative de l’actif sous gestion.

L’étude de ces deux indicateurs peut aussi être complétée par celle du coefficient alpha. Ce dernier donne un aperçu de la sur performance ou de la sous performance d’un fonds par rapport à une indice de référence. Si cet alpha est positif, alors le portefeuille ou le fonds est meilleur que l’indice. Plus cet alpha est élevé, meilleur est donc le fonds : par exemple, s’il est de 2, il est de 2% meilleur dans ses performances.